“地有多厚 天有多高/地有多厚 天有多高/星星眨着眼/月儿划问号/彗星拖着长长的尾巴/彩虹来架桥……”

还有人记得这首《蓝猫淘气三千问》的主题曲吗?是不是暴露年龄了～小时候的你，有没有好奇过“天有多高、地有多厚”呢?

如果你平常有戴着运动手表爬山的习惯，可能还会发现，在爬山途中，手表似乎总会知道现在有多高，这是怎么做到的?

01

物理思路 vs 几何思路

测量高度有物理和几何两种思路。我们先说物理思路：

如果你站在两个地方，测到的重力不同，那就是这两个地方距离地心(质心)的远近不同，即高度不同。

这种物理的思路听着有点浪漫，但对于普通百姓，实用值约等于零。

几何的思路，从古到今一直被广泛使用。选择一个或多个观测点，测量各种角度、边长距离的数据，然后构建合适的三角形，就能算出高度。即使现在有卫星定位系统(也是几何思路)，我们仍会采用这种方法来测山的高度，哪怕是珠穆朗玛峰。

珠峰测量。图片来源：可视化星球《我们究竟是如何测量珠峰的?》

02

有卫星 vs 没有卫星

随着人们知道了地球是个球，而且测量的尺度越来越大，情况就发生了改变，测得的数据要按地面的弯曲做出调整，同时，空气密度不同引起的光线折射偏差也得考虑。更麻烦的是，有些地方根本就测不了，比如，想测一个海岛，站太远，岛被淹没在地平线以下，想靠近点，又没陆地。

绕地球偏心轨道的太空卫星。图库版权图片，不授权转载

后来，人类的天空变得更高，卫星能帮我们看清大地的全貌，也让我们的运动手表能知道所处的位置有多高。

与传统观的地面测量不同，卫星定位系统需要一个空间直角坐标系，这样，空间内的任何位置都能用坐标来表示。在这个坐标系里，原点是地心，Z轴是地球的自转轴(地轴的运动取均值)，X轴指向子午线，Y轴按数学老师教的右手方法确定(如下图所示)。所以，只要测得与4颗不同卫星的距离，就能算出你所在位置的坐标，进而推算出其他有用的数据。

制图：徐静中

这么一来，卫星定位系统确实解决了原来的曲面和远距离问题，但新问题又随之产生，如何知道卫星在空间的准确位置?又如何精确地测出你与卫星之间的距离呢?

想要精确，地面和卫星使用的时间得先一致，现在具体是几点几分，以及每一秒应该有多长，必须相同，但我们地面的时间是以地球自转为基础，而卫星使用原子时，这就得协调一致。还有，卫星离我们那么远，飞那么快，时间流逝的速度和地表是不同的，所以要按照爱因斯坦的相对论做修正。然后，卫星的轨道你得算精准，这里又涉及很多物理参数。再然后，空气密度不同对电磁波的影响仍然存在，测距时要考虑。还有，卫星信号的接收机本身可能受到电磁干扰、软件计算上的问题也会造成误差。

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其实，卫星定位系统测量的精度未必高于传统的地面测量。所以，那些要求高的测量，需要空中网络(卫星系统)与地面网络(地面辅助定位的基站)相结合，两种数据互相矫正。

03

卫星定位与地图

为了实际应用，我们需要把空间坐标的数值换算成地图上的位置，也就是让每个点都有对应的经度、纬度、高度。

制图：徐静中

要给球面上的点确定经纬度不难(如上图所示)，但确定高度就不那么简单了。因为，高度的起点在哪就是个问题。

我们很容易想到用海平面作为高度的起点，然后把这个基准高度延伸到整个地球。可以，我国就是长期观察黄海的涨落，算了一个海平面的平均值作为零海拔，这是测高的起点。

但地球不是一个正球，它有点扁，基准海平面应该按最贴近地球的形状去延伸，而这个形状又必须能用数学来表达。思来想去，人类选择了椭球体。

去除海洋的干货地球

我国的北斗系统使用2000国家大地坐标系，其中默认的地球椭球体长半轴为6378137米，短半轴为6356752.31414米。那么，现在确定经纬度也要改用这个椭球体，它比正球体复杂一点点，如下图所示。

制图：徐静中

好啦，咱们只要把黄海高程延伸到整个椭球体，然后，你所在位置垂直到这个椭球面的距离就是高度。那运动手表里真是这样算的吗?还不是，因为卫星定位系统不使用这个黄海高程延伸的椭球体。

04

海平面不平

请你想一想，为什么要用海平面作为高度起点?因为水面能代表一个重力相等的面。

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我们知道，地球的重力分布并不均匀，所以全球的海平面(学名：大地水准面)在重力影响下有高有低，不是一个规则的球体。如果你要知道最正确的海拔高度，就应该是该点垂直到海平面的距离。可是，凹凸不平的大地水准面无法用数学表达，卫星定位系统更不会采用。

图片来源：《地图制图基础总结归纳——地图的控制基础》

那卫星定位系统用什么做高度起点呢?上文提到过北斗系统使用的2000国家大地坐标系，里面具体设定的那个椭球体(学名：基准椭球体)，它就是全球算高度的起点。

制图：徐静中

之所以设定这样的椭球体，是因为经过多年研究测算，它与地球几何最吻合，可以代表全球平均的水准面。很显然，它不等于我国的黄海高程延伸面。

卫星定位系统测量与纯正的海拔高度区别对比。制图：徐静中

现在知道了，我们通过卫星定位系统测量的高度，比如运动手表上的读数，是上图左侧的椭球高。至于上图右侧的正高，也就是纯正的海拔高度，你必须知道真实的大地水准面在哪里，海面部分它与水面吻合，但陆地部分(尤其在山地)，这个面既看不见又难以定位，所以，我国把黄海高程延伸到整个陆地，当作高度0，形成一个近似的大地水准面，你日常看到的地图、地理标志上的高度都是以此为起点的近似海拔高度。

参考文献：

[1]GPS原理与接收机设计 谢钢 电子工业出版社 2017.1

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